Формула циклической частоты колебаний физического маятника

Формула циклической частоты колебаний физического маятника

Чему равен период колебаний физического маятника:

Яворский Б.М. Детлаф А.А., Справочник по физике, 1985 г. стр. 261

Таким образом, в отсутствие трения малые колебания физического маятника являются гармоническими:

,

где – амплитуда колебаний угла α,

и

— циклическая частота и период малых колебаний физического маятника.

Савельев И.В, т.2, стр. 126

В соответствии с (54.10) период колебаний физического маятника определяется выражением

(54.11)

Трофимова Т.И. Курс физики, 2001 г., стр. 202

Из выражения (142.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой w (см. (142.5)) и периодом

= (142.7)

где L=J/(ml) приведенная длина физического маятника.

Если амплитуда колебаний мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

Определение и формула циклической частоты колебаний

Циклическая частота — это параметр, характеризующий колебательные движения. Обозначают эту скалярную величину как $omega $, иногда $<omega >_0$.

Напомним, что уравнение гармонических колебаний параметра $xi $ можно записать как:

где $A=<xi >_$ — амплитуда колебаний величины $xi $; $left(<omega >_0t+<varphi >_0
ight)$=$varphi $ — фаза колебаний; $<varphi >_0$ — начальная фаза колебаний.

Циклическую частоту при гармонических колебаниях определяют как частную производную от фазы колебаний ($varphi $) по времени ($t$):

Циклическая частота колебаний связана с периодом ($T$) колебаний формулой:

Циклическую частоту с частотой $?$$?$ связывает выражение:

Формулы для частных случаев нахождения циклической частоты

Пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой равной:

$k$ — коэффициент упругости пружины; $m$ — масса груза на пружине.

Гармонические колебания физического маятника происходят с циклической частотой равной:

где $J$ — момент инерции маятника относительно оси вращения; $a$ — расстояние между центром масс маятника и точкой подвеса; $m$ — масса маятника.

Читайте также:  Беседка пристроенная к забору

Частным случаем физического маятника является математический маятник (физический маятник, масса которого сосредоточена в точке), циклическая частота его колебаний может быть найдена как:

где $l$ — длина подвеса, на которой находится материальная точка.

Частота колебаний в электрическом контуре равна:

где $C$ — емкость конденсатора, который входит в контур; $L$ — индуктивность катушки контура.

Если колебаний являются затухающими, то их частоту находят как:

где $delta $ — коэффициент затухания; в случае с затуханием колебаний, $<omega >_0$ называют собственной угловой частотой колебаний.

Примеры задач с решением

Задание. В электрический колебательный контур (рис.1) входит соленоид, длина которого $l$, площадь поперечного сечения $S_1$, число витков $N $и плоский конденсатор с расстоянием между пластинами $d$, площадью пластин $S_2$. Какова частота собственных колебаний контура ($<omega >_0$)?

Решение. Основой для решения задачи служить формула для частоты колебаний в электрическом контуре:

Элементом, обладающим индукцией в нашем контуре является соленоид. Индуктивность соленоида равна:

где $mu =1$, $<mu >_0$ — магнитная постоянная.

Емкость плоского конденсатора вычислим по формуле:

где $varepsilon =1$, $<varepsilon >_<0 >$ — электрическая постоянная.

Правые части выражений (1.2) и (1.3) подставим в (1.1) вместо соответствующих величин:

Задание. Чему равна циклическая частота гармонических колебаний материальной точки, если амплитуда скорости точки равна $<dot>_=v_0$, амплитуда ее ускорения: $<ddot>_=a_0$? Начальная фаза колебаний равна нулю.

Решение. Из контекста условий задачи понятно, что колебания совершает координата $x$, поэтому уравнение колебаний (в общем виде) запишем как:

По условию задачи $<varphi >_0$=0. Тогда уравнение для скорости изменения параметра $xleft(t
ight)$ имеет вид:

Из выражения (2.2) следует, что:

Уравнение для ускорения материальной точки, используя (2.2) запишем как:

Читайте также:  Укладка мозаичной плитки на пол

Мы получили следующую систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

Найдем отношение $frac$, получим:

Физическим маятником называется твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс тела.

Если физический маятник отклонен от положения равновесия на некоторый угол α, то момент возвращающей силы:

(12.12)

C другой стороны, при малых углах

(12.13)

Где: J – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О.

l – расстояние между точкой подвеса и центром масс С маятника.

– возвращающая сила (- т.к. она всегда противоположна направлению увеличения угла α. Следовательно:

(12.14) или (12.15)

Таким образом, при малых колебаниях физический маятник также является гармоническим осциллятором и совершает гармонические колебания с циклической частотой ω. Решением уравнения (12.5) является выражение:

(12.16)

Циклическая частота и период колебаний:

(12.17), (12.18)

Приведенная длина физического маятника:

— уравнение математического маятника

(12.19), тогда:

Приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, который имеет тот же период колебаний, что и данный физический маятник.

Точка О’ на продолжении прямой ОС, отстоящая от оси подвеса на L, называется центром качаний физического маятника.

Применяя теорему Штейнера, получим:

Т.е. приведенная длина L физического маятника всегда больше длины l эквивалентного математического маятника (ОО’ всегда больше ОС).

Точка подвеса О и центр качаний О’ обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не изменится.

Математический маятник является частным случаем физического маятника, если предположить, что вся его масса сосредоточена в центре масс, а приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, у которого период колебаний совпадает с периодом колебаний физического маятника.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector